Publication : t09/266

Abstract:
Ce travail de thèse s’inscrit dans le domaine du chaos quantique, c’est à dire l’étude de propriétés spectrales de systèmes quantiques dont la limite classique est chaotique. Nous nous sommes intéressés aux systèmes dits ouverts, c’est à dire ne présentant pas d’états liés. Dans une première partie, nous avons étudié des modèles unidimensionnels appelés applications quantiques “partiellement ouvertes”. Ces propagateurs modèles sont construits à partir de la quantification d’un espace des phases classique modèle, le tore T2, muni d’une application symplectique chaotique jouant le rôle de dynamique classique. Pour étudier les propriétés spectrales de ces applications sous unitaires du fait de l’ouverture partielle, nous avons d’une part utilisé des techniques d’analyse microlocale transposées sur le tore, et d’autre part le principe de correspondance classique-quantique, ou théorème d’Egorov : ceci nous a permis, en employant des résultats de théorie ergodique, d’obtenir des informations sur la densité spectrale de ces applications dans le plan complexe, dans la limite semiclassique. Dans une deuxième partie, nous avons étudié l’équation des ondes amorties sur une variété riemannienne compacte de courbure négative. Sur de telles variétés, le flot géodésique est partout hyperbolique. Sous l’hypothèse de négativité de la pression topologique d’une fonction faisant intervenir l’amortissement, (non équivalente à l’hypothèse de contrôle géométrique), nous avons montré d’abord un trou spectral au voisinange de l’axe réel. Comme conséquence, nous avons obtenu une décroissance exponentielle de l’énergie des ondes pour toutes données initiales assez régulières, et la perte de dérivées a pu être calculée explicitement.

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