Nous rappelons les aspects les plus importants de la sixième équation=fonction de Painlevé et signalons au passage quelques problèmes ouverts : – les occasions manquées (1867 Bonnet, 1889 R. Liouville, 1898 Painlevé) et réussies (1889 Picard, 1905 R. Fuchs) de la découverte de P VI ; – l'approche nécessaire : définition de nouvelles fonctions par des EDOs, unicité de P VI ; – l'approche suffisante : déformation isomonodromique ; – les bonnes coordonnées (elliptiques de Picard) des P n ; – la courbe spectrale, toujours de genre un ; – les huit fonctions T (Painlevé; Chazy = Okamoto = Jimbo et Miwa) ; – les ingrédients minimaux d'intégrabilité d'un problème physique par une P n. par We recall the main features of the sixth equation=function of Painlevé and mention in passing a few open problems: – missed (1867 Bonnet, 1889 R. Liouville, 1898 Painlevé) and successful (1889 Picard, 1905 R. Fuchs) opportunities in the discovery of P VI; – the necessary approach: to define new functions by ODEs; – the sufficient approach: isomonodromic deformation; – the good coordinates (elliptic of Picard) of the P n 's; – the spectral curve, always of genus one; – the eight T -functions (Painlevé; Chazy = Okamoto = Jimbo and Miwa); – the minimal ingredients for a physical problem to integrate with some P n.

ENS Paris-Saclay et The university of Hong Kong.