Nous consid’erons l’ensemble des graphes al’eatoires `a $n$ sommets, chaque graphe ayant un poids proportionnel `a $exp{ – beta Tr (Delta^2)}$, o`u $Delta$ est le laplacien discret sur le graphe: c’est l’ensemble d’ErdH os-R’enyi des graphes al’eatoires. Dans cet ensemble les ar^etes sont d’ecrites par des variables al’eatoires ind’ependantes de Bernoulli, qui prennent la valeur 1 avec la probabilit’e $p =O(e^{-2beta})$. Nous ‘etudions le comportement asymptotique de l’« ‘energie libre » $$ Z_{n,p,beta} = {1over pn^2} log {bf E} { e^{g_n Tr (Delta^4)}}, $$ dans trois r’egimes asymptotiques diff’ erents, respectivement $p=O(1)$, $1/nll pll 1$, et $ p = O(1/n)$. En utilisant la technique des diagrammes connexes, nous d’emontrons que les limites formelles de $Z_{n,p,beta}$ existent dans ces r’egimes. Nous donnons les expressions explicites pour certains termes de ces limites, qui sont d’etermin’ees par l »equation de Lagrange-P’olya ou ses g’en’eralisations. Ces r’esultats impliquent le Th’eor`eme Limite Central pour les moments des mesures spectrales des matrices d’adjacence des graphes al’eatoires d’ErdH os-R’enyi.

Université de Versailles – Saint-Quentin