La théorie non commutative des champs est une généralisation de la théorie des champs dans lequel l’espace de base devient non-commutatif, c’est à dire l’analogue de l’espace de phase en mécanique quantique. Dans le cas le plus simple, dit de l’espace-temps de Moyal R4, on a un commutateur constant pour la multiplication entre les coordonnées x et y, et entre z et t, le temps euclidien. On a donc de nouvelles relations de Heisenberg : il n’est plus possible de mesurer simultanément avec une précision arbitraire la longueur et la largeur d’un objet. La théorie des champs non-commutative suscite un intérêt croissant, d’une part parce qu’elle est intermédiaire entre la théorie ordinaire des champs et la théorie des cordes, apparaissant notamment comme limite effective de la théorie des cordes dans certains régimes, et d’autre part parce qu’elle semble le bon cadre pour l’étude de l’effet Hall quantique par des méthodes ab initio.

On présentera les résultats récents (2004-2005) permettant de résoudre la difficulté de base dont souffrait cette théorie (le mélange des degrés de liberté ultra-violets et infra-rouges) et de renormaliser les premiers modèles de théorie des champs non-commutative (phi4_4 sur l’espace de Moyal).

LPT, Université d’Orsay