Les travaux de nombreux physiciens, notamment David, Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov, montrent que la gravité quantique de Liouville peut être modélisé par une surface riemannienne aléatoire dont le tenseur métrique est donné par l’exponentielle du champ libre. Mathématiquement, définir cette métrique reste un problème encore ouvert. Néanmoins, certains objets reliés à cette métrique peuvent être rigoureusement définis. Par exemple, la construction de la forme volume repose sur la théorie du chaos introduite en 1985 par J.-P. Kahane. Cette théorie donne sens à des mesures aléatoires qui ont formellement l’exponentielle du champ libre comme densité par rapport à la mesure de Lebesgue, généralisant (dans le cadre lognormal) des modèles discrets comme les cascades multiplicatives de Mandelbrot. Le but de cet exposé sera de montrer comment l’on peut construire un mouvement brownien associé à la métrique de Liouville et en déduire l’existence de nombreux outils stochastiques tels qu’un semigroupe, une fonction de Green, un opérateur de Laplace-Beltrami ou un noyau de la chaleur.

CEREMADE-Université Paris-Dauphine