Soit X une variété riemannienne compacte, soit square^X le Laplacien sur X, qui agit sur les formes différentielles sur X. Sa restriction aux fonctions est le Laplacien ordinaire D^X.
Witten a proposé une déformation du Laplacien associée à une fonction f:X® R supposée C^¥. On obtient ainsi un nouveau Laplacien square ^X_T, dépendant d’un paramètre T, qui pour T=0 coïncide avec square^X. Quand T® + ¥, le spectre de square^X_T tend vers + ¥, à l’exception d’un nombre fini de valeurs propres qui tendent vers 0. L’analyse fine du spectre fait intervenir des effets tunnels entre points critiques de f. A l’aide de cette déformation, Witten a donné une démonstration analytique des inégalités de Morse.
Une motivation de notre travail est de tenter de réaliser la construction de Witten en dimension infinie, sur l’espace des lacets (chemins fermés ou cordes) LX de X. Il n’existe aucune construction du Laplacien sur LX. Par contre, sur l’espace de lacets sont définies de nombreuses fonctionnelles, comme l’énergie E=1/2ò₀¹|[(x)dot]|²dt, dont les points critiques sont les géodésiques fermées.
On construit certains termes de l’asymptotique en temps petit du noyau de la chaleur sur LX. On décrit ainsi le déplacement infinitésimal de cordes dans X. On obtient alors des objets locaux sur LX, qui sont des densités d’intégrales fonctionnelles, dépendant du paramètre T, auxquelles sont associés des opérateurs sur l’espace des phases de X. Ces opérateurs sont l’ombre semiclassique de la déformation de Witten sur LX. Ils permettent de localiser le noyau de la chaleur sur les géodésiques fermées de X.

Orsay