Soit X une surface de Riemann. Soit G un groupe de Lie réductif sur C et Gdual le groupe réductif dont le réseau des poids est le dual de celui de G, dont les racines sont les coracines de $G$ et vice-versa (ex: le dual de $GL_n$ est $GL_n$, le dual de $SL_n$ est $PGL_n$, et le dual de $Sp_{2n}$ est $SO_{2n+1}$). La correspondance de Langlands géométrique, conjecturée par Drinfeld, doit permettre d’associer à toute représentation du groupe fondamental de X dans Gdual un système complet d’équations différentielles linéaires sur l’espace des G-torseurs sur X (un $GL_n$-torseur est un fibré vectoriel holomorphe de rang $n$, un $Sp_{2n}$-torseur est un fibré vectoriel holomorphe de rang $n$ muni d’une forme symplectique…). On essaiera de donner un énoncé et si possible d’expliquer un lien avec la physique.

Centre de Mathématiques de Jussieu, Université Paris 6