Un qubit (système quantique à deux niveaux) se représente, si l’état est normalisé, comme un point sur la sphère S³. Si l’on veut travailler « modulo la phase globale », et passer à l’espace de Hilbert « projectif », on trouve alors, via la fibration de Hopf, la sphère S² (qui correspond à l’espace projectif complexe CP¹). Cette représentation est utilisée depuis longtemps dans le milieu de l’optique quantique, sous le nom de sphère Bloch. Avec plusieurs qubits, de nouvelles propriétés apparaissent, associées à la possible (et d’ailleurs générique) intrication des états. L’intrication des états est une des manifestations les plus spectaculaires de la mécanique quantique. Elle est par exemple au coeur du paradoxe EPR.
Nous verrons comment l’on peut géométriser la question du taux d’intrication d’un état pour le cas à deux qubits, à l’aide de la fibration de Hopf de la sphère S⁷, qui s’avère être ici particulièrement bien adaptée, car très sensible au taux d’intrication lorsqu’elle est convenablement orientée. On peut alors « feuilleter » l’espace projectif correspondant (CP³) relativement à ce taux d’intrication, et généraliser, en quelque sorte, la sphère de Bloch au cas à deux qubits. Cette partie sera le coeur de l’exposé.
Le problème à trois qubits est en relation avec la fibration de Hopf de la sphère S¹⁵. Cette fibration renseigne également sur le taux d’intrication des états, mais de façon incomplète. La raison en sera donnée.
Le problème, très ouvert, de la représentation géométrique des états « mélanges », et non plus des états purs, sera mentionné au passage.

Groupe de Physique des Solides Université P. et M. Curie et CNRS