Je présenterai une méthode récursive de diagonalisation en puissance de $hbar$ pour des Hamiltoniens quantiques à valeur matricielle, (i.e. présentant une structure de bandes). On en déduira des formules générales pour l’Hamiltonien et la dynamique semi-classiques en faisant apparaitre des corrections dues aux phases de Berry dans l’énergie et les équations du mouvement (effet Hall de spin). Le processus de diagonalisation conduit naturellement à considérer les coordonnées d’une particule comme une algèbre non commutative. J’appliquerai enfin ces résultats à plusieurs systèmes quantiques, électron dans les bandes de Bloch magnétiques, Hamiltonien de Dirac couplé à un champ électromagnétique ou gravitationnel.

Grenoble