Le comportement critique du modèle $O(N)$ en présence d’un champ magnétique aléatoire est l’objet de controverses depuis 30 ans. Au coeur du problème se trouve la propriété de « réduction dimensionnelle » (entre le système en champ aléatoire en dimension $d$ et le système pur en dimension $(d-2)$), prédite par la théorie de perturbation mais contredite par des résultats rigoureux. Pour aborder cette question, nous avons développé une approche combinant le formalisme du groupe de renormalisation dit exact avec celui du groupe de renormalisation fonctionnel (perturbatif) utilisé pour étudier certains systèmes désordonnés. Le principal intérêt de cette approche est de permettre l’étude du comportement critique du modèle pour toute valeur de $N$, incluant le modèle d’Ising, et toute dimension $d$. A l’intérieur de ce cadre théorique, l’échec de la réduction dimensionnelle et de la théorie de perturbation est dû au caractère non-analytique du point fixe (à température nulle) qui contrôle le comportement critique du système. Cette non-analycité, qui trouve son origine dans l’existence de multiples états métastables, conduit à des exposants qui diffèrent de la réduction dimensionnelle en dessous d’une dimension critique $d_c(N)3$.

LPTL, Université Paris 6