De nombreux travaux récents étudient les limites continues d’arbres aléatoires discrets. Ces arbres discrets peuvent être définis soit de manière combinatoire (arbre choisi au hasard parmi tous les arbres à n sommets d’un certain type), soit de manière probabiliste (en donnant la loi du « nombre d’enfants » de chaque sommet de l’arbre). Un passage à la limite où le nombre de sommets de l’arbre tend vers l’infini et où simultanément la longueur de chaque arête tend vers 0, conduit à des arbres aléatoires continus, dont le prototype est le Continuum Random Tree (CRT) introduit par Aldous. L’exposé décrira la manière dont ces arbres sont codés et en quel sens ils sont limites des arbres discrets. On donnera aussi diverses propriétés géométriques et fractales de ces arbres continus. Si le temps le permet, on introduira le modèle appelé ISE (Integrated Super-Brownian Excursion) qui combine la structure de branchement du CRT avec un déplacement brownien (les ïndividus » dont le CRT décrit la généalogie se déplacent dans l’espace de manière brownienne). Les travaux récents de Slade et de ses co-auteurs ont montré que l’ISE intervient dans l’asymptotique de différents modèles de mécanique statistique (arbres sur réseaux, percolation, etc.).

DMA, ENS Paris