Effets de taille finie, extrêmes et propagation de défaillances dans des réseaux hors d'équilibre
Hélène Grandclaude
IPhT
Thu, Nov. 10th 2011, 14:15
Salle Claude Itzykson, Bât. 774, Orme des Merisiers
Cette thèse porte sur deux aspects de la statistique des réseaux hors d'équilibre. Dans un premier temps, nous étudions les effets de taille et de temps fini dans des modèles simples de réseaux en croissance. Nous montrons comment la distribution du degré à temps fini est décrite par une fonction d'échelle et présente une transition entre un régime stationnaire et un régime de grandes déviations de la distribution du degré. La fonction d'échelle décroît exponentiellement vite pour des degrés de l'ordre du degré de coupure $k_star$. Nous donnons la formule explicite de cette fonction d'échelle pour trois modèles de réseaux en croissance et deux symétries possibles de la condition initiale. par A partir de ces distributions à temps fini, nous étudions la statistique des extrêmes dans des réseaux en croissance considérés à un temps fini. Nous montrons que la dynamique des noeuds les plus connectés est très différente selon que le réseau croît avec une règle préférentielle ou uniforme. La dynamique des meneurs dans un réseau invariant d'échelle est gelée, dans le sens où seuls quelques uns des premiers noeuds du réseau dominent la connectivité du système. La dynamique des extrêmes se limite alors à l'alternance de quelques noeuds en position de meneur. Dans un second temps, nous étudions un modèle simple de propagation d'une défaillance dans les réseaux : le modèle de Lehmann et Bernasconi. Grâce à l'analogie entre ce modèle et un processus de branchement généralisé, nous présentons des résultats analytiques et numériques qui montrent l'apparition dans ce modèle de deux seuils de transition vers un régime dans lequel des cascades globales se produisent avec probabilité finie. Nous explorons les propriétés de la cascade dans ce cadre simplifié et montrons la nature différente de chacune des transitions. L'une est due aux propriétés de connectivité du réseau de défaillances tandis que l'autre est liée à la fragilité locale des éléments du réseau.
Contact : Loic BERVAS

 

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