Book project (in preparation):
last update: 24 nov 2011

Counting surfaces,
B. Eynard


Table of Contents

I. Maps and discrete surfaces (chap1.pdf)

1 Gluing polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Intuitive definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 More formal definiton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.4 Symmetry factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Generating functions for counting maps . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Maps with fixed number of vertices . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Fixed boundary lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16
2.3 Redundancy of the parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 All genus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.5 Non connected maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.6 Rooted maps: one boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Tutte’s equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Planar case: the disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Higher genus case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


II. Formal matrix integrals (chap2.pdf)

1 Definition of a formal matrix integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Introductory example: 1-matrix model and quadrangulations . . . 23
1.2 Comparison with convergent integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
1.3 Formal integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2 Wick’s theorem and combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
2.1 Generalities about Wick’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Matrix gaussian integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3 Generating functions of maps and matrix integrals . . . . . . . . . . . . .32
3.1 Generating functions for closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 maps with boundaries or marked faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
4.1 one boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
4.2 several boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
4.3 Topological expansion for bounded maps of given genus . . . . . 34
4.4 Resolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

5 Loop equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

6 Loop equations and Virasoro constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 Summary Maps and matrix integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


III. Solution of loop equations  (chap3.pdf)

1 Disc amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.1 Solving Tutte’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2 A useful lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.3 1-cut solution, Zhukovsky’s variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
1.4 Derivatives of the disc amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
1.5 Example: quadrangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.6 Example: triangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.7 Example: gaussian matrix integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 Cylinders/annulus amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.1 Universality and Bergman kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.2 Cylinders of fixed perimeter lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

3 Higher topology surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
3.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Closed surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1 General considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 The generating function of stable maps of genus ≥ 2 . . . . . . 70
4.3 Planar maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
4.4 genus 1 maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
4.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
4.6 Summary closed maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5 Summary, generating functions of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83


IV. Multicut case  (chap4.pdf)

1 Formal integrals and extrema of V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.1 A disgression on convergent normal matrix integrals . . . . . . 86
1.2 Definition of formal cubic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
1.3 General definition of formal multicut integrals . . . . . . . . . . . 89

2 What are multicut formal integrals counting ? . . . . . . . . . . . . . 90
2.1 Discrete surfaces made of di-polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2 Formal multicut matrix integrals and nodal surfaces . . . . . . . 93

3 Solution of loop equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1 A useful lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
3.2 Disc generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
3.3 Higher genus algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
3.4 Geometry of the spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
3.5 Higher correlation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

4 Maps without boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


V. Counting continuous surfaces  (chap5.pdf)

1 Introduction to large maps and Double scaling limit . . . . . . . . . . . 101
1.1 Large size asymptotics and singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.2 Example: quadrangulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
1.3 About double scaling limits and Liouville quantum gravity . . . . 104

2 Critical spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
2.1 Cusps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
2.2 Multicritical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

3 Computation of the asymptotic W (g)n ’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
3.1 Double scaling limit of Fg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
3.2 Example: triangulations and pure gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4 Liouville CFT and Minimal models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
4.1 Introduction to Minimal models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 String equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Lax pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
4.4 Lax equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
4.5 The linear ψ system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6 Correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7 Example: Airy kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.8 Tau function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9 Classical limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.10 Topological expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.11 BKW expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.12 Link with symplectic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
4.13 Tau function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.14 Large N and large s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
4.15 Pure gravity case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

5 Summary: large maps and Liouville gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


VI.  Counting Riemann surfaces  (chap6.pdf)

1 Moduli spaces of Riemann surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
1.1 Example: Torus with a marked point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.2 Stability and unstability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

2 Informal introduction to intersection numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3 Parametrizing surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1 Teichmuller foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
3.2 Strebel foliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
3.3 Chern classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
3.4 generating function for intersection numbers . . . . . . . . . . . . . . . .149
3.5 Generating function and Kontsevich integral . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.6 Generating functions with marked points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4 Kontsevich integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.1 Loop equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
4.2 The spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
4.3 Solution of loop equations and symplectic invariants . . . . . . . . .162

5 Large maps, Liouville garvity and topological gravity . . . . . . . . . 166

6 Marked faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
6.1 Variation of the spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 Variation of symplectic invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Link with intersection numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7 Weil-Petersson volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170


VII. Topological recursion and symplectic invariants  (chap7.pdf)

1 Symplectic invariants of spectral curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1.1 Spectral curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
1.2 Geometry of the spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2 Main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

3 Diagrammatic representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
3.2 Remark: Teichmuller pants gluings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
4.1 Counting various sorts of maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
4.2 Double scaling limits and large maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.3 Matrix model in an external field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4 Kontsevich integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
4.5 Partitions and Plancherel measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191


VIII. Ising model  (chap8.pdf)

1 Bicolored maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
1.1 Reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

2 Tutte-like equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
2.1 Equation for generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200

3 Solution of loop equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201
3.1 The disc: spectral curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.2 All generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203

4 Mixed boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
4.1 Maps with mixed boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203
4.2 Planar discs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.3 Non-planar case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209