Théorie quantique de Liouville sur la sphère  

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En 1981 le célèbre théoricien A. Polyakov a introduit la théorie quantique de Liouville comme modèle de théorie des cordes. Cette théorie “quantifie” l’équation de Liouville R=-1 qui intervient en géométrie classique et caractérise les surfaces de Riemann de courbure négative. C’est donc une  théorie de gravité quantique, où la géométrie de l’espace temps bidimensionnel (une dimension de temps + une dimension d’espace) est quantifiée.

 

La théorie de Liouville possède des propriétés remarquables: c’est une théorie invariante conforme (elle possède un groupe de symétrie infini, le même que celui des théories des cordes et des systèmes critiques comme le modèle d’Ising en 2 dimensions), et elle apparait, parfois de façon très inattendue, dans de nombreux problèmes de physique théorique et de mathématiques pures. A ce titre elle a été énormément étudiée, avec les outils de la théorie conforme et des systèmes intégrables. Mais elle est reliée de façon profonde, et encore imparfaitement comprise, à des modèles combinatoires où l’espace-temps est discrétisé et forme un réseau aléatoire (cartes aléatoires, modèles de matrice). Deux approches (continue et discrète) où l’IPhT a déjà apporté des contributions majeures.

 

Récemment une troisième acteur est entré dans l’arène: la théorie des probabilités!  Elle a déjà permis de comprendre certains aspects de la théorie quantique dans le cas où l’on néglige les effets de courbure et où la théorie est celle, beaucoup plus simple, d’un champ Gaussien libre (équation classique R=0).

 

Une équipe de physiciens (IPhT et Université Helsinki) et de mathématiciens (Université Paris-Est et Ecole Normale Supérieure) vient de réussir à appliquer ces méthodes de théorie des probabilités à la théorie de Liouville complète (R≠0), dans le cas des surfaces avec la topologie de la sphère. Cette percée permet de construire explicitement la théorie, et ouvre un nouveau champ d’application à l’approche probabiliste de la gravité quantique en deux dimensions. Elle devrait permettre de mieux comprendre les relations entre théorie de Liouville et géométries aléatoires.

 

Pour en savoir plus: “Liouville Quantum Gravity on the Riemann Sphere”, F. David, A. Kupiainen, R. Rhodes et V. Vargas, arXiv:1410.7318

C. Pepin, dépêche du 24/02/2015

 

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