Les produits de matrices constituent un outil naturel pour étudier les systèmes unidimensionnels formées d'un grand nombre d'unités en série, si chaque unité peut être décrite par une matrice de transfert. Les systèmes désordonnés correspondent en général à des produits de matrices aléatoires indépendantes qui ne commutent pas entre elles. De nombreuses situations intéressantes sont déjà décrites par le cas non trivial le plus simple des matrices de taille 2 par 2. On peut mentionner par exemple le problème d'Anderson, c'est à dire la propagation d'un électron dans un potentiel aléatoire, ou les chaînes de spins d'Ising classiques ou quantiques en présence d'un champ magnétique aléatoire et/ou de constantes d'échange aléatoires. En outre, les quantités les plus pertinentes (longueur de localisation, densité d'états, énergie libre, énergie de l'état fondamental) s'expriment en termes de l'exposant de Lyapunov qui caractérise la croissance exponentielle du produit de matrices avec le nombre de facteurs. Les systèmes désordonnés de ce type manifestent des comportements d'échelle non triviaux dès lors que le désordre est faible tandis que le système est proche d'un point "intéressant" (bord de bande pour l'électron, point critique pour la chaîne de spins). Dans ces circonstances, l'exposant de Lyapunov obéit à une loi d'échelle en fonction de variables réduites appropriées. Jean-Marc Luck et ses collaborateurs ont obtenu [1] une classification complète des fonctions d'échelle qui décrivent ces comportements, pour des matrices réelles 2 par 2 proches de l'identité. Ces fonctions d'échelle sont essentiellement les dérivées logarithmiques de "fonctions spéciales": Airy, Bessel, Whittaker, elliptiques, hypergéométriques (cf table ci-jointe). Cette liste fournit en quelque sorte une classification de tous les types possibles de comportements collectifs dans les systèmes désordonnés unidimensionnels.

[1] Alain Comtet, Jean-Marc Luck, Christophe Texier, Yves Tourigny

The Lyapunov exponent of products of random 2 times 2 matrices close to the identity

Journal of Statistical Physics 150 (2013) 13-65 (arXiv:1208.6430)