Publication : t11/225

Quelques problmes de gomtrie numrative, de matrices alatoires, d'intgrabilit, tudis via la gomtrie des surfaces de Riemann

Borot G. (CEA, IPhT (Institut de Physique Théorique), F-91191 Gif-sur-Yvette, France)
Abstract:
La gomtrie complexe est un outil puissant pour tudier les systmes intgrables classiques, la physique statistique sur rseau alatoire, les problmes de matrices alatoires, la thorie topologique des cordes, . . . Tous ces problmes ont en commun la prsence de relations, appeles quations de boucle ou contraintes de Virasoro. Dans le cas le plus simple, leur solution complte a t trouve rcemment [EO07a], et se formule naturellement en termes de gomtrie diffrentielle sur une surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dpend du problme. Cette thse est une contribution au dveloppement de ces techniques et de leurs applications. Pour commencer, nous abordons les questions de dveloppement asymptotique tous les ordres lorsque N tend vers l'infini, des intgrales N dimensionnelles venant de la thorie des matrices alatoires de taille N N , ou plus gnralement des gaz de Coulomb. Nous expliquons comment tablir, dans les modles de matrice beta et dans un rgime une coupure, le dveloppement asymptotique tous les ordres en puissances de N . Nous appliquons ces rsultats ltude des grandes dviations du maximum des valeurs propres dans les modles beta;, et en dduisons de faon heuristique des informations sur lasymptotique tous les ordres de la loi de Tracy-Widom beta, pour tout beta > 0. Ensuite, nous examinons le lien entre intgrabilit et quations de boucle. En corollaire, nous pouvons dmontrer lheuristique prcdente concernant lasymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices hermitiennes. Nous terminons avec la rsolution de problmes combinatoires en toute topologie. En thorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm, Mario et Pasquetti affirme que des sries gnratrices bien choisies dinvariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont solution dquations de boucle. Nous lavons dmontr dans le cas le plus simple, o ces invariants concident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les progrs rcents vers la conjecture gnrale, en relation avec nos travaux. En physique statistique sur rseau alatoire, nous avons rsolu le modle O(n) trivalent sur rseau alatoire introduit par Kostov, et expliquons la dmarche suivre pour rsoudre des modles plus gnraux. Tous ces travaux soulignent limportance de certaines "intgrales de matrices gnralises" pour les applications futures. Nous indiquons quelques lments ap- pelant une thorie gnrale, encore base sur des "quations de boucles", pour les calculer.
Année de publication : 2011
Thse
Soutenance de thse : 2011-06-23
Keywords : matrices alatoires, cartes alatoires, systmes intgrables, gomtrie algbrique, quations de boucles, rcurrence topologique, nombres de Hurwitz, in- variants de Gromov-Witten, lois de Tracy-Widom, ensembles β.
Langue : Français
NB : Directeur de thse: Bertrand EYNARD. Universit Paris-Sud 11 (Orsay). ED 107.

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