Publication : t10/200

Aspects gomtriques et intgrables des modles de matrices alatoires

Marchal O. (CEA, IPhT (Institut de Physique Théorique), F-91191 Gif-sur-Yvette, France)
Abstract:
Cette thse traite des aspects gomtriques et dintgrabilit associs aux modles de matrices alatoires. Son but est de prsenter diverses applications des modles de matrices alatoires allant de la gomtrie algbrique aux quations aux drives partielles des systmes intgrables. Ces diffrentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modles de matrices possdent une grande richesse dun point de vue mathmatique. Ainsi, cette thse abordera dabord ltude de la jonction de deux intervalles du support de la densit des valeurs propres au voisinage dun point singulier. On montrera plus prcisment en quoi ce rgime limite particulier aboutit aux quations universelles de la hirarchie de Painlev II des systmes intgrables. Ensuite, lapproche des polynmes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra dnoncer des problmes de Riemann-Hilbert et disomonodromies associs aux modles de matrices, faisant ainsi le lien avec la thorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modles deux matrices hermitiens se transpose un cas dgnr de la thorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors gnralis. La mthode des quations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de dveloppement topologique permettra quant elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de gomtrie algbrique introduits rcemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera galement lobjet dune gnralisation aux modles de matrices non-hermitien (b quelconque) ouvrant ainsi la voie la gomtrie algbrique quantique et la gnralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes quantiques. Enfin, une dernire partie sera consacre aux liens troits entre les modles de matrices et les problmes de combinatoire. En particulier, laccent sera mis sur les aspects gomtriques de la thorie des cordes topologiques avec la construction explicite dun modle de matrices alatoires donnant le dnombrement des invariants de Gromov- Witten pour les varits de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilises en thorie des cordes topologiques. Ltendue des domaines abords tant trs vaste, lobjectif de la thse est de prsenter de faon la plus simple possible chacun des domaines mentionns prcdemment et danalyser en quoi les modles de matrices peuvent apporter une aide prcieuse dans leur rsolution. Le fil conducteur tant les modles matriciels, chaque partie a t conue pour tre abordable pour un spcialiste des modles de matrices ne connaissant pas forcment tous les domaines dapplication prsents ici.
Année de publication : 2010
Thse
Soutenance de thse : Marchal Olivier ; Universit de Montral Facult des tudes suprieures - Universit Paris Diderot - IPhT ; 2010-12-20
Keywords : gomtrie algbrique, quations de boucles, invariants symplectiques, thorie des cordes topologiques, isomonodromies, polynmes orthogonaux.
Langue : Français

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