Publication : t11/225
Quelques problèmes de géométrie énumérative, de matrices aléatoires, d'intégrabilité, étudiés via la géométrie des surfaces de Riemann
Borot G. (CEA, IPhT (Institut de Physique Théorique), F-91191 Gif-sur-Yvette, France)Abstract:Année de publication : 2011
La géométrie complexe est un outil puissant pour étudier les systèmes intégrables classiques, la physique statistique sur réseau aléatoire, les problèmes de matrices aléatoires, la théorie topologique des cordes, . . . Tous ces problèmes ont en commun la présence de relations, appelées équations de boucle ou contraintes de Virasoro. Dans le cas le plus simple, leur solution complète a été trouvée récemment [EO07a], et se formule naturellement en termes de géométrie différentielle sur une surface de Riemann : la "courbe spectrale", qui dépend du problème. Cette thèse est une contribution au développement de ces techniques et de leurs applications. Pour commencer, nous abordons les questions de développement asymptotique à tous les ordres lorsque N tend vers l'infini, des intégrales N dimensionnelles venant de la théorie des matrices aléatoires de taille N × N , ou plus généralement des gaz de Coulomb. Nous expliquons comment établir, dans les modèles de matrice beta et dans un régime à une coupure, le développement asymptotique à tous les ordres en puissances de N . Nous appliquons ces résultats à l’étude des grandes déviations du maximum des valeurs propres dans les modèles beta;, et en déduisons de façon heuristique des informations sur l’asymptotique à tous les ordres de la loi de Tracy-Widom beta, pour tout beta > 0. Ensuite, nous examinons le lien entre intégrabilité et équations de boucle. En corollaire, nous pouvons démontrer l’heuristique précédente concernant l’asymptotique de la loi de Tracy-Widom pour les matrices hermitiennes. Nous terminons avec la résolution de problèmes combinatoires en toute topologie. En théorie topologique des cordes, une conjecture de Bouchard, Klemm, Mariño et Pasquetti affirme que des séries génératrices bien choisies d’invariants de Gromov-Witten dans les espaces de Calabi-Yau toriques, sont solution d’équations de boucle. Nous l’avons démontré dans le cas le plus simple, où ces invariants coïncident avec les nombres de Hurwitz simples. Nous expliquons les progrès récents vers la conjecture générale, en relation avec nos travaux. En physique statistique sur réseau aléatoire, nous avons résolu le modèle O(n) trivalent sur réseau aléatoire introduit par Kostov, et expliquons la démarche à suivre pour résoudre des modèles plus généraux. Tous ces travaux soulignent l’importance de certaines "intégrales de matrices généralisées" pour les applications futures. Nous indiquons quelques éléments ap- pelant à une théorie générale, encore basée sur des "équations de boucles", pour les calculer.
Thèse
Soutenance de thèse : 2011-06-23
Keywords : matrices aléatoires, cartes aléatoires, systèmes intégrables, géométrie algèbrique, équations de boucles, récurrence topologique, nombres de Hurwitz, in- variants de Gromov-Witten, lois de Tracy-Widom, ensembles β.
Langue : Français
NB : Directeur de thèse: Bertrand EYNARD. Université Paris-Sud 11 (Orsay). ED 107.
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